Demo-Klausur

Frage 1

Erreichbare Punkte: 5,00

Es sei die Matrix A gegeben. \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2t & 1 \\ -2 & 1 & 0,5 \\ -2 & -1 & 2 \\ \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Determinante von A.

\( det(A)= \) \( t+ \)

Bestimmen Sie nun die fehlenden Einträge der Inversen für den Fall \( \textbf{t = 1} \)

\( A^ {-1} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{6} & A_1 & 0 \\ A_2 & A_3 & -\frac{1}{5} \\ \frac{4}{15} & -\frac{2}{15} & A_4 \\ \end{array}\right) \)

mit \( A_1 = \) , \( A_2 = \) , \( A_3 = \) , \( A_4 = \)

Frage 2

Erreichbare Punkte: 10,00

Die Matrix A \( = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rrr} 74 & 0 & 160 \\ 8 & 6 & 28 \\ -32 & 0 & -70 \\ \end{array}\right)\) hat die folgenden Eigenwerte/vektoren:

  1. \( \lambda_1 = -3 \) mit Eigenvektor \( \left(\begin{array}{r} A_1 \\ A_2 \\ 1 \\ \end{array}\right) \)    mit \( A_1 = \) , \( A_2 = \) .
  2. \( \lambda_2 = \) mit Eigenvektor \( \left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) \) .
  3. \( \lambda_3 = \) mit Eigenvektor \( \left(\begin{array}{r} -5 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}\right) \) .

Frage 3

Erreichbare Punkte: 10,00

Die Firma A produziert unter Verwendung der Inputfaktoren \(x\) und \(y \) \((x,y \geq 0 ) \) .
Die Produktion wird durch die Funktion \( f(x,y) = 2x^\frac{1}{2} + 4y^\frac{1}{4} \) beschrieben .
Für die Produktion stehen 48 Geldeinheiten zur Verfügung. Die Kosten werden durch die Kostenfunktion \( K(x,y) = x^2 + 2y \) beschrieben.

Bestimmen Sie die optimalen Faktoreinsatzmengen \(x\) * und \(y\) *.

\( x \) * \( = \) , \( y \) * \( = \)

Berechnen Sie näherungsweise, um wie viel sich der optimale Output verändert, wenn das Budget auf 50 GE ansteigt.
Geben Sie 3 Nachkommastellen an!
Näherungsweise Veränderung des Outputs = Einheiten

Frage 4

Erreichbare Punkte: 10,00

Gegeben sind die drei Vektoren \( \overrightarrow{a_1} = \) \( \left( \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}\right) \) , \( \overrightarrow{a_2} = \) \( \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}\right) \) , \( \overrightarrow{a_3} =\) \( \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) \) und Vektor \( \overrightarrow{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 2-2t \\ \end{array}\right) \) .

Für welches \( t \) lässt sich \( \overrightarrow{x} \) als Linearkombination der drei Vektoren \( \overrightarrow{a_1}\) , \( \overrightarrow{a_2} \) , \( \overrightarrow{a_3} \) schreiben?

\( t = \)

Setzen Sie ihr bestimmtes \( t \) ein und bestimmen Sie die Vorfaktoren der Linearkombination, die den Vektor \( \overrightarrow{x} \) erzeugt.

\( \cdot \) \( \left( \begin{array}{r} 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}\right) +\) \( \cdot \) \( \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}\right) +\) \( \cdot \) \( \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) =\) \( \left( \begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 2-2t \\ \end{array}\right) \)

Frage 5

Erreichbare Punkte: 10,00

Folgende Zielfunktion \( Z=-2x-4y+z \) soll unter folgenden Nebenbedingungen minimiert werden:

  1. \( 0,5x+y-z \leq 12\)
  2. \( x+2z \leq 26 \)
  3. \( 2y+z \leq 18 \)
  4. \( x,y,z \geq 0 \)

Das Starttableau liegt schon in Standardform vor.

$$ \begin{array}{c|cccccc|c|c} & -2x & -4y & 1z & s_1 & s_2 & s_3 & x & \frac{x}{f} \\ \hline 0 & 0,5 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 26 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 18 \\ \hline & 2 & 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & \\ \end{array} $$

Bestimmen Sie die optimalen Werte für \( x\) , \( y \) und \( z \) unter gegebenen Nebenbedingungen.

\( x\) * \( = \) , \( y\) * \( = \) , \( z\) * \( = \)

Frage 6

Erreichbare Punkte: 5,00

Gegeben ist die Funktion \( Z=f(x,y)= (2x+y) \cdot \sqrt{x} \) .

Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten für \(x = 100 \) und \(y = 50 \) .

\( \epsilon_f(100,50) = ( \) , \( )^{T} \)

Die Einsatzmengen von \( x \) und \( y \) verändern sich je um +1% .
Um wie viel Prozent verändert sich ungefähr Z?

\( \Delta_{Z} = \) % (Beispielangabe: 10,45 [%] nicht 0,1045!)

Frage 7

Erreichbare Punkte: 5,00

1.

Eine unendliche Anzahl an Dreiecken wird aneinandergelegt. Dabei bleibt das Verhältnis der unterschiedlichen Höhen und Grundflächen von Kreis zu Kreis immer unverändert.
Berechnen Sie die Gesamtfläche der Dreiecke. Runden Sie auf 4 Nachkommastellen!

Gesamtfläche der Dreiecke =

2.

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge \((a_n)_{n \geq 0} \) mit \(a_n = \frac{(t+1)^2 \cdot n^4 - (t+1) \cdot n^3 +t^2n^2 - 5n + 20}{ -n^4 + (3+t) \cdot n^2 + 20n -100} \) für \( t = 2\) .

Grenzwert =

Frage 8

Erreichbare Punkte: 5,00

Das wöchentliche Kundenwechselverhalten von Münsteraner Bäckereien wird durch die Matrix U abgebildet. Untersucht wird eine Gruppe von 390 Kunden, die zu Beginn gleich auf die Bäckereien A, B und C aufgeteilt sind.

\( U = \left( \begin{array}{rrr} 0,3 & 0,1 & 0,4 \\ 0,4 & 0,9 & 0,2 \\ 0,3 & 0 & 0,4 \\ \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Verteilung der Kunden nach einer Woche.

\( \overrightarrow{v_1} = ( \) , , \( )^{T} \)

Bestimmen eine Verteilung der 390 Gäste, die sich innerhalb einer Woche nicht verändert.

\( \overrightarrow{g} = ( \) , , \( )^{T} \)